Параллелепипед

Четырёхугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.

Рис. 345

Если параллелепипед прямой, т. е. его боковые рёбра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани — прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед — прямоугольный.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Оказывается, что аналогичным свойством обладают диагонали параллелепипеда:

Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. В том случае, когда все три прямые лежат в одной плоскости, это утверждение было доказано в п. 28. В общем случае оно будет доказано в курсе стереометрии 10—11 классов.

Обратимся к рисунку 346, а, на котором изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку грани ABCD и ADD₁A₁ — параллелограммы, то BC || AD, BC = AD, A₁D₁ || AD, A₁D₁ = AD. Из этого следует, что BC = A₁D₁ и ВС || A₁D₁, поэтому четырёхугольник A₁D₁CB — параллелограмм, а значит, его диагонали А₁С и D₁B, являющиеся также диагоналями параллелепипеда, пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам.

Рис. 346

Аналогично доказывается, что четырёхугольник AD₁C₁B — параллелограмм (рис. 346, б), и, следовательно, его диагонали АС₁ и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали А₁С, D₁B и АС₁ параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Наконец, рассматривая четырёхугольник A₁B₁CD (рис. 346, в), точно так же устанавливаем, что и четвёртая диагональ DB₁ проходит через точку О и делится ею пополам.